GABARITO DA AVALIAÇÃO BIMESTRAL 2015 - 1º BIMESTRE

POR AUSÊNCIA DA QUESTÃO 06 CADA UMA TERÁ  VALOR DE 0,5 PONTOS.

01) E - MAIOR QUE 99%

02) D - 75%

03) D - 46,15%

04) B - 98%

05) A - 12%

06) ------

07) C - 35%

08) A - A PROBABILIDADE ESTÁ CORRETA

09) E - 12/256

10) A - 70%

11) C - A SOMA DAS RAÍZES É IGUAL A 3

ATIVIDADE AVALIATIVA

Aluno(a)s queiram por gentileza entrar no site do Centrão: www.centraoguara.com.br, para responder a Atividade Avaliativa proposta cujo valor total é de 2,0 pontos. Leiam com atenção o comando da explicação, qualquer dúvida consulte-me.

ARRANJO SIMPLES - EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

LISTA DE EXERCÍCIOS – ARRANJOS - GABARITO

01). A quantidade de números de dois algarismos distintos que se formam com 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:

Solução. Números com dois algarismos distintos quer dizer que uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ele não poderá mais aparecer. No caso há cinco algarismos a serem utilizados. As possibilidades são começando das dezenas. (poderia iniciar das unidades)

Dezenas simples	Unidades simples
5 possibilidades	4 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (um alg já foi utilizado)

Logo há  5 x 4 = 120 possibilidades.

02). Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

Solução. Há mais espaços que cadeiras. Com certeza TODAS serem estaram sentadas. Uma forma de construir a solução é representar os elementos como A, B, C, D, E, E, E,E, onde as quatro primeiras letras são as pessoas diferentes entre si e a letra E representa o espaço vazio. Uma possível arrumação poderia ser: AEBCDEEE ou EEEBADEC. Repare que há a ordem entre as pessoas AB  e  BA mostra uma diferença, mas EE ou EE não possibilita distinção. Nesse caso há uma REPETIÇÃO em algumas arrumações que devem ser retiradas.

i) O total de arrumações entre pessoas e espaços é: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

ii) O número de repetições das letras E nas arrumações é: 4 x 3 x 2 x 1

Logo o número de possibilidades é:

03). O número inteiro positivo que verifica a equação A_n,3 = 3. (n - 1) é:

Solução. A representação A_n,3 representa a operação matemática isto é: quais as possibilidades de arrumarmos n objetos em 3 posições distintas. Na questão haverá uma manipulação algébrica para encontrar o valor de n:

04). As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso?

Solução. Se fossemos escolher simplesmente três Misses, a ordem não faria diferença. Mas o fato de ordenar a colocação diferencia a escolha Brasil-Japão-Venezuela de Japão-Venezuela-Brasil. As formas de escolher são:

1ª colocada	2ª colocada	3ª colocada
5 possibilidades	4 possibilidades	3 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (uma Miss já foi escolhida)	3ª escolha (duas já escolhidas)

Logo há  5 x 4  x 3 = 60 possibilidades.

05). A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:

Solução. Há seis algarismos que serão dispostos e, uma vez utilizados, não será repetido. Temos:

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
6 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.

Logo há  6 x 5 x 4  x 3 = 360 possibilidades.

06). A quantidades de números ímpares de 4 algarismos distintos, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:

Solução. Um número é ímpar se o algarismo das unidades simples for 1, 3, 5, 7, 9. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 1, 7 ou 9. As opções de uso são 1, 2, 4, 7, 8 e 9. Iniciando pelas unidades, temos:

4ª escolha	3ª escolha	2ª escolha	1ª escolha
3 possib.	4 possib.	5 possib.	3 possib.

Logo, há 3 x 4 x 5 x 3 =  180 possibilidades.

07). Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé ?

Solução. Essa questão pode ser identificada também como a formação de números de 5 algarismos escolhidos dentre 7.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
7 possib.	6 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.

Logo, há 7 x 6 x 5 x 4 x 3 =  2520 possibilidades.

OBSERVAÇÃO: A exigência que duas pessoas fiquem de pé indica cada cadeira é individual.

08). Num pequeno país, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:

Solução. Temos duas situações simultâneas. As 26 letras são escolhidas, de forma distinta, duas a duas e para cada letra os nove algarismos ocupando as três ordens sem repetição.

1ª letra	2ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
26 possib.	25 possib.	10 possib.	9 possib.	8 possib.

Logo, há (26 x 25) x (10 x 9 x 8) =  468000 possibilidades.

09). O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos, é:

Solução. Nesse caso há sete espaços ocupados. As escolhas entre letras e números são simultâneas.

1ª letra	2ª letra	3ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo	4ª algarismo
26 possib.	25 possib.	24 possib.	10 possib.	9 possib.	8 possib.	7 possib.

Logo, há (26 x 25 x 24) x (10 x 9 x 8 x 7) =  78624000 possibilidades.

 10). A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e os algarismos impares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum algarismo repetido, e nenhuma letra repetida:

Solução. As restrições indicam a análise com as letras A e R em qualquer posição e os algarismos utilizados serão 1, 3, 5, 7 e 9.

1ª letra	2ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo	4ª algarismo
2 possib.	1 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo, há (2 x 1) x (5 x 4 x 3 x 2) = 240 possibilidades.

11). A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é:

Solução. Repare que a dezena de milhar não poderá ser ocupada pelos algarismos 2, nem 7. O primeiro geraria um número menor que 30000 e o segundo, um maior que 65000. Analisando as situações:

i) Iniciando com 3 ou 4: não há restrições quanto aos demais.

1ª escolha	2ª escolha	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
2 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.	1 possib.

Há 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 possibilidades.

ii) Iniciando com 6: há única restrição é que o 7 não ocupe a unidade de milhar.

1ª escolha	2ª escolha	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
1 possib.	3 possib.	3 possib.	2 possib.	1 possib.

Há 1 x 3 x 3 x 2 x 1 = 18 possibilidades.

Unindo as duas situações temos: 48 + 18 = 66 possibilidades.

12). A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:

Solução 1. As restrições indicam que os números devem conter os algarismo 1 e 2 . Os algarismos serão escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

i) Contém o algarismo 1 e 2 nas primeiras posições.

1	2	3ª escolha	1ª escolha
1 possib.	1 possib.	4 possib.	3 possib.

Há 4 x 3 = 12 possibilidades.

Considerando os algarismos 12 como um só, haveria 3! possibilidades de trocarem de posição com os outros dois escolhidos. Logo teríamos: (4 x 3) x 3! possibilidades. Mas consideramos que a ordem era 12. Como há a formação 21, todo o cálculo deve ser multiplicado por 2. Logo o resultado final será: (4 x 3) x 3! x 2 = 12 x 6 x 2 = 144 possibilidades.

Solução 2. Um possível caminho, o raciocínio é decomposto em duas etapas. Na primeira, atribuem-se posições no número aos algarismos que devem estar presentes; posteriormente, atribuem-se os algarismos ainda livres às posições restantes no número. O resultado é o produto dos resultados dessas duas etapas (que também têm subetapas, veja).

Etapa 1

Quantas posições são possíveis para o algarismo 1? R: 4

Dado que o 1 já foi alocado, quantas posições são possíveis para o algarismo 2? R: 3

Etapa 2

Dado que 1 e 2 já foram alocados, quantos algarismos podem ocupar a terceira casa do número, qualquer que ela seja? R: 4 (são 3,4,5 e 6)

Quantos algarismos podem ocupar a casa final do número, dadas as ocupações já realizadas? R: 3 (qualquer trinca formada a partir de 3,4,5,6 dependendo da última escolha acima)

4.3.4.3=144

Solução 3. Os números formados deverão ter os algarismos 1 e 2, e mais dois algarismos que pertençam ao conjunto {3,4,5,6}. O número de maneiras de escolher esses dois outros algarismos é então C(4,2) = 6.

Em cada uma dessas 6 escolhas devermos permutar os quatro algarismos formadores do número, de modo que, para cada uma das 6 escolhas, teremos 4! = 24 números distintos.

6 * 24 = 144 números no total.

ANÁLISE COMBINATÓRIA - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXERCÍCIOS DE SIMPLES TREINAMENTO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

01) Nayara vai à praia e com um maiô e uma canga. Sabendo que ela possui sete cangas diferentes e quatro maiôs, determine o número de maneiras distintas que a Nayara tem para se vestir para à praia.

02) Dispondo dos algarismos 2,4,6 e 8, quantos números naturais de 4 algarismos podemos formar?

03) Em uma classe possui 18 meninos e 20 meninas. Quantos casais diferentes podem ser formados para a festa junina do colégio?

04) Uma mansão possui 9 portas que dão acesso ao seu interior. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar na mansão e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

05) Quantos números distintos de três algarismos podemos formar com os números: 1,3,5,7 e 9 ?

06) Ana e Lucas vão se casar e precisam entregar os convites de casamento para os padrinhos. Sabe-se que 6 padrinhos moram em uma cidade X, cada um em um bairro: A, B, C, D, E, F. Encontre o número de maneiras distintas que os noivos tem para entregar os convites para esses padrinhos, sabendo que vai começar pelo bairro C e terminar com o bairro F?

07) Uma bandeira é formada por seis listras, que devem ser pintadas por quatro cores diferentes. De quantas maneiras será possível pintá-la sendo que, duas listras adjacentes não sejam da mesma cor?

08) Temos dois conjuntos: A e B. Sabe-se que o conjunto A é formado por 12 nomes de garotas e no conjunto B por 30 adjetivos. Então, quantas possibilidades diferentes podemos ter de uma garota e seu adjetivo relacionados?

09) De quantas maneiras uma garota pode responder 10 perguntas, cujas respostas só pode ser sim ou não?

10) Agilso é um homem de negócios e possui 10 ternos, 20 camisas, 30 gravatas e 5 pares de sapatos. De quantas maneiras ele poderá se arrumar para uma reunião importante, sendo que vai usar um terno, uma camisa, uma gravata e um par de sapato?

11) Uma sala de aula possui 6 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ficar iluminada?

13) Em uma cidade do interior de São Paulo, os números dos telefones têm 8 algarismos. Os quatro primeiros constituem o prefixo. Sabendo que em todas as padarias os quatro últimos dígitos são o número três e o prefixo não tem dígitos repetidos, determine o número de telefones que podem ser instalados nas padarias dessa cidade.

14) Em um cinema há 7 cadeiras livres e consecutivas. De quantas maneiras sete pessoas podem escolher os seus assentos, sendo que João Pedro e Gianluca não podem se sentar um do lado do outro?

RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS ANÁLISE COMBINATÓRIA PFC

01) Vamos multiplicar o número de possibilidade de cada evento: número de maiôs e quantidade de cangas:

4⋅7=28 maneiras

Portanto, Nayara pode vestir 28 combinações distintas.

02) No enunciado não tem nada que “proíbe” algarismos repetidos, então concluímos que, pode ter repetição:

4⋅4⋅4⋅4=256

Portanto, há 256 números naturais com os algarismos: 2,4,6 e 8.

03) Pelo princípio da contagem, o número de casais é dado pelo produto da quantidade de meninos pela quantidade de meninas:

18⋅20=360

Totalizando, 360 casais distintos.

04) Pelo princípio fundamental da contagem, existem:

9⋅8=72maneiras distintas.

05) Como no enunciado não que os algarismos precisam ser distintos, então não pode ter repetição, ou seja, os números 113,777,939 não podem ser formados.

Temos 5 números disponíveis, então:

5⋅4⋅3 = 60 números diferentes.

06) Já que o primeiro e o último bairro já estão determinados, então temos o seguinte:

C _ _ _ _ F , sendo que cada risquinho representa um bairro a ser decidido. Os espaços em branco vão ser preenchidos da seguinte forma:

4⋅3⋅2⋅1

Totalizando, 24 maneiras distintas.

07) Sabemos que a primeira listra que vamos “pintar” possui 4possibilidades de cores. Já as demais, sempre vão ter 3 possibilidades de escolha, já que elas nunca podem ser da mesma cor da listra ao lado já pintada.

4⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=972

Portanto, podemos pintar a bandeira de 972 maneiras distintas

08) Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que:

12⋅30=360,

considerando a primeira opção sendo os nomes e a segunda as características, totalizando 360 possibilidades.

09) Para cada resposta ela tem duas opções (sim ou não), então:

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=210=1024

Assim, ela pode responder as dez perguntas de 1024 maneiras distintas.

10) Pelo princípio fundamental da contagem, o total de combinações é dado pelo produto das quantidades de ternos, camisas, gravatas e pares de sapatos que Agilso possui. Ou seja:

10⋅20⋅30⋅5=30.000

Portanto, ele poderá se vestir de 30.000 maneiras diferentes para a reunião.

11) Para cada lâmpada, possui duas opções (acesa ou apagada), então:

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=26=64

Como o exercício está interessado na sala iluminada, então temos que desconsiderar o caso de todas as lâmpadas estarem apagadas. Assim, a sala possui 64−1=63 maneiras de ficar iluminada.

12) Primeiro vamos calcular o total de possibilidades das três letras dessa placa.  Na palavra “Michelês” possui 7 letras distintas, então:

7⋅6⋅5=210

Agora vamos calcular o total de possibilidades dos quatro algarismos da placa:

5⋅4⋅3⋅2=120

No final, temos que multiplicar os dois resultados, pois na placa possui as letras E os algarismos. 

210⋅120=25.200.

Então, possui 25.200 placas com as restrições do enunciado.

13) Para resolver esse exercício vamos separar dar uma atenção inicial para o prefixo:

9⋅9⋅8⋅7=4.536

Na primeira posição pode ser qualquer algarismo menos o zero. Na segunda posição qualquer números, menos o que já foi utilizado na primeira posição. Na terceira e quarta posição a mesma ideia do que a segunda posição.

E os quatro últimos dígitos vão ser o número 3, então o total de possibilidade é 1 pois:

1⋅1⋅1⋅1=1

Totalizando 4.536 números distintos para as padarias dessa cidade.

14) Para resolver exercícios desse tipo, fica mais fácil calcular o número total de escolhas e tirar as possibilidades tais que os dois garotos ficam juntos. Resultando assim, as possibilidades que eles ficam separados.

• Total de possibilidades:

7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5.040

• Possibilidades do João Pedro e Gianluca sentarem um do lado do outro:

2⋅1⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅6=1.440

Dois fatorial ( a troca de lugar dos garotos ), cinco fatorial (as outras cinco pessoas) e o vezes 6 no final são as possibilidades de lugares diferentes da dupla, como podemos ver no esquema abaixo:

X X _ _ _ _ _ 

_ X X _ _ _ _

_ _ X X _ _ _

_ _ _ X X _ _

_ _ _ _ X X _

_ _ _ _ _ X X

• Possibilidades deles NÃO sentarem um do lado do outro:

5040–1440=4.000

Portanto, possui 4.000 maneiras distintas dos garotos sentarem com pelo menos uma cadeira entre eles.