ANÁLISE COMBINATÓRIA - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

EXERCÍCIOS DE SIMPLES TREINAMENTO – ANÁLISE COMBINATÓRIA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

01) Nayara vai à praia e com um maiô e uma canga. Sabendo que ela possui sete cangas diferentes e quatro maiôs, determine o número de maneiras distintas que a Nayara tem para se vestir para à praia.

02) Dispondo dos algarismos 2,4,6 e 8, quantos números naturais de 4 algarismos podemos formar?

03) Em uma classe possui 18 meninos e 20 meninas. Quantos casais diferentes podem ser formados para a festa junina do colégio?

04) Uma mansão possui 9 portas que dão acesso ao seu interior. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar na mansão e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?

05) Quantos números distintos de três algarismos podemos formar com os números: 1,3,5,7 e 9 ?

06) Ana e Lucas vão se casar e precisam entregar os convites de casamento para os padrinhos. Sabe-se que 6 padrinhos moram em uma cidade X, cada um em um bairro: A, B, C, D, E, F. Encontre o número de maneiras distintas que os noivos tem para entregar os convites para esses padrinhos, sabendo que vai começar pelo bairro C e terminar com o bairro F?

07) Uma bandeira é formada por seis listras, que devem ser pintadas por quatro cores diferentes. De quantas maneiras será possível pintá-la sendo que, duas listras adjacentes não sejam da mesma cor?

08) Temos dois conjuntos: A e B. Sabe-se que o conjunto A é formado por 12 nomes de garotas e no conjunto B por 30 adjetivos. Então, quantas possibilidades diferentes podemos ter de uma garota e seu adjetivo relacionados?

09) De quantas maneiras uma garota pode responder 10 perguntas, cujas respostas só pode ser sim ou não?

10) Agilso é um homem de negócios e possui 10 ternos, 20 camisas, 30 gravatas e 5 pares de sapatos. De quantas maneiras ele poderá se arrumar para uma reunião importante, sendo que vai usar um terno, uma camisa, uma gravata e um par de sapato?

11) Uma sala de aula possui 6 lâmpadas. De quantas maneiras diferentes essa sala pode ficar iluminada?

13) Em uma cidade do interior de São Paulo, os números dos telefones têm 8 algarismos. Os quatro primeiros constituem o prefixo. Sabendo que em todas as padarias os quatro últimos dígitos são o número três e o prefixo não tem dígitos repetidos, determine o número de telefones que podem ser instalados nas padarias dessa cidade.

14) Em um cinema há 7 cadeiras livres e consecutivas. De quantas maneiras sete pessoas podem escolher os seus assentos, sendo que João Pedro e Gianluca não podem se sentar um do lado do outro?

RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS ANÁLISE COMBINATÓRIA PFC

01) Vamos multiplicar o número de possibilidade de cada evento: número de maiôs e quantidade de cangas:

4⋅7=28 maneiras

Portanto, Nayara pode vestir 28 combinações distintas.

02) No enunciado não tem nada que “proíbe” algarismos repetidos, então concluímos que, pode ter repetição:

4⋅4⋅4⋅4=256

Portanto, há 256 números naturais com os algarismos: 2,4,6 e 8.

03) Pelo princípio da contagem, o número de casais é dado pelo produto da quantidade de meninos pela quantidade de meninas:

18⋅20=360

Totalizando, 360 casais distintos.

04) Pelo princípio fundamental da contagem, existem:

9⋅8=72maneiras distintas.

05) Como no enunciado não que os algarismos precisam ser distintos, então não pode ter repetição, ou seja, os números 113,777,939 não podem ser formados.

Temos 5 números disponíveis, então:

5⋅4⋅3 = 60 números diferentes.

06) Já que o primeiro e o último bairro já estão determinados, então temos o seguinte:

C _ _ _ _ F , sendo que cada risquinho representa um bairro a ser decidido. Os espaços em branco vão ser preenchidos da seguinte forma:

4⋅3⋅2⋅1

Totalizando, 24 maneiras distintas.

07) Sabemos que a primeira listra que vamos “pintar” possui 4possibilidades de cores. Já as demais, sempre vão ter 3 possibilidades de escolha, já que elas nunca podem ser da mesma cor da listra ao lado já pintada.

4⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3=972

Portanto, podemos pintar a bandeira de 972 maneiras distintas

08) Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos que:

12⋅30=360,

considerando a primeira opção sendo os nomes e a segunda as características, totalizando 360 possibilidades.

09) Para cada resposta ela tem duas opções (sim ou não), então:

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=210=1024

Assim, ela pode responder as dez perguntas de 1024 maneiras distintas.

10) Pelo princípio fundamental da contagem, o total de combinações é dado pelo produto das quantidades de ternos, camisas, gravatas e pares de sapatos que Agilso possui. Ou seja:

10⋅20⋅30⋅5=30.000

Portanto, ele poderá se vestir de 30.000 maneiras diferentes para a reunião.

11) Para cada lâmpada, possui duas opções (acesa ou apagada), então:

2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=26=64

Como o exercício está interessado na sala iluminada, então temos que desconsiderar o caso de todas as lâmpadas estarem apagadas. Assim, a sala possui 64−1=63 maneiras de ficar iluminada.

12) Primeiro vamos calcular o total de possibilidades das três letras dessa placa.  Na palavra “Michelês” possui 7 letras distintas, então:

7⋅6⋅5=210

Agora vamos calcular o total de possibilidades dos quatro algarismos da placa:

5⋅4⋅3⋅2=120

No final, temos que multiplicar os dois resultados, pois na placa possui as letras E os algarismos. 

210⋅120=25.200.

Então, possui 25.200 placas com as restrições do enunciado.

13) Para resolver esse exercício vamos separar dar uma atenção inicial para o prefixo:

9⋅9⋅8⋅7=4.536

Na primeira posição pode ser qualquer algarismo menos o zero. Na segunda posição qualquer números, menos o que já foi utilizado na primeira posição. Na terceira e quarta posição a mesma ideia do que a segunda posição.

E os quatro últimos dígitos vão ser o número 3, então o total de possibilidade é 1 pois:

1⋅1⋅1⋅1=1

Totalizando 4.536 números distintos para as padarias dessa cidade.

14) Para resolver exercícios desse tipo, fica mais fácil calcular o número total de escolhas e tirar as possibilidades tais que os dois garotos ficam juntos. Resultando assim, as possibilidades que eles ficam separados.

• Total de possibilidades:

7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5.040

• Possibilidades do João Pedro e Gianluca sentarem um do lado do outro:

2⋅1⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅6=1.440

Dois fatorial ( a troca de lugar dos garotos ), cinco fatorial (as outras cinco pessoas) e o vezes 6 no final são as possibilidades de lugares diferentes da dupla, como podemos ver no esquema abaixo:

X X _ _ _ _ _ 

_ X X _ _ _ _

_ _ X X _ _ _

_ _ _ X X _ _

_ _ _ _ X X _

_ _ _ _ _ X X

• Possibilidades deles NÃO sentarem um do lado do outro:

5040–1440=4.000

Portanto, possui 4.000 maneiras distintas dos garotos sentarem com pelo menos uma cadeira entre eles.