ARRANJO SIMPLES - EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

LISTA DE EXERCÍCIOS – ARRANJOS - GABARITO

01). A quantidade de números de dois algarismos distintos que se formam com 2, 3, 5, 7 e 9 é igual a:

Solução. Números com dois algarismos distintos quer dizer que uma vez usado um algarismo em determinada ordem, ele não poderá mais aparecer. No caso há cinco algarismos a serem utilizados. As possibilidades são começando das dezenas. (poderia iniciar das unidades)

Dezenas simples	Unidades simples
5 possibilidades	4 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (um alg já foi utilizado)

Logo há  5 x 4 = 120 possibilidades.

02). Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:

Solução. Há mais espaços que cadeiras. Com certeza TODAS serem estaram sentadas. Uma forma de construir a solução é representar os elementos como A, B, C, D, E, E, E,E, onde as quatro primeiras letras são as pessoas diferentes entre si e a letra E representa o espaço vazio. Uma possível arrumação poderia ser: AEBCDEEE ou EEEBADEC. Repare que há a ordem entre as pessoas AB  e  BA mostra uma diferença, mas EE ou EE não possibilita distinção. Nesse caso há uma REPETIÇÃO em algumas arrumações que devem ser retiradas.

i) O total de arrumações entre pessoas e espaços é: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

ii) O número de repetições das letras E nas arrumações é: 4 x 3 x 2 x 1

Logo o número de possibilidades é:

03). O número inteiro positivo que verifica a equação A_n,3 = 3. (n - 1) é:

Solução. A representação A_n,3 representa a operação matemática isto é: quais as possibilidades de arrumarmos n objetos em 3 posições distintas. Na questão haverá uma manipulação algébrica para encontrar o valor de n:

04). As finalistas do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso?

Solução. Se fossemos escolher simplesmente três Misses, a ordem não faria diferença. Mas o fato de ordenar a colocação diferencia a escolha Brasil-Japão-Venezuela de Japão-Venezuela-Brasil. As formas de escolher são:

1ª colocada	2ª colocada	3ª colocada
5 possibilidades	4 possibilidades	3 possibilidades
1ª escolha	2ª escolha (uma Miss já foi escolhida)	3ª escolha (duas já escolhidas)

Logo há  5 x 4  x 3 = 60 possibilidades.

05). A quantidade de números de quatro algarismos distintos que, podem se formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:

Solução. Há seis algarismos que serão dispostos e, uma vez utilizados, não será repetido. Temos:

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha
6 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.

Logo há  6 x 5 x 4  x 3 = 360 possibilidades.

06). A quantidades de números ímpares de 4 algarismos distintos, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 9 é:

Solução. Um número é ímpar se o algarismo das unidades simples for 1, 3, 5, 7, 9. No caso dessa questão a unidade simples poderá ser 1, 7 ou 9. As opções de uso são 1, 2, 4, 7, 8 e 9. Iniciando pelas unidades, temos:

4ª escolha	3ª escolha	2ª escolha	1ª escolha
3 possib.	4 possib.	5 possib.	3 possib.

Logo, há 3 x 4 x 5 x 3 =  180 possibilidades.

07). Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé ?

Solução. Essa questão pode ser identificada também como a formação de números de 5 algarismos escolhidos dentre 7.

1ª escolha	2ª escolha	3ª escolha	4ª escolha	5ª escolha
7 possib.	6 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.

Logo, há 7 x 6 x 5 x 4 x 3 =  2520 possibilidades.

OBSERVAÇÃO: A exigência que duas pessoas fiquem de pé indica cada cadeira é individual.

08). Num pequeno país, as chapas dos automóveis tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem repetição. Considerando-se o alfabeto com 26 letras, o número de chapas possíveis de se firmar é:

Solução. Temos duas situações simultâneas. As 26 letras são escolhidas, de forma distinta, duas a duas e para cada letra os nove algarismos ocupando as três ordens sem repetição.

1ª letra	2ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
26 possib.	25 possib.	10 possib.	9 possib.	8 possib.

Logo, há (26 x 25) x (10 x 9 x 8) =  468000 possibilidades.

09). O número de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos, é:

Solução. Nesse caso há sete espaços ocupados. As escolhas entre letras e números são simultâneas.

1ª letra	2ª letra	3ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo	4ª algarismo
26 possib.	25 possib.	24 possib.	10 possib.	9 possib.	8 possib.	7 possib.

Logo, há (26 x 25 x 24) x (10 x 9 x 8 x 7) =  78624000 possibilidades.

 10). A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e os algarismos impares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum algarismo repetido, e nenhuma letra repetida:

Solução. As restrições indicam a análise com as letras A e R em qualquer posição e os algarismos utilizados serão 1, 3, 5, 7 e 9.

1ª letra	2ª letra	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo	4ª algarismo
2 possib.	1 possib.	5 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.

Logo, há (2 x 1) x (5 x 4 x 3 x 2) = 240 possibilidades.

11). A quantidade de número inteiros compreendidos entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando-se somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem algarismos repetidos é:

Solução. Repare que a dezena de milhar não poderá ser ocupada pelos algarismos 2, nem 7. O primeiro geraria um número menor que 30000 e o segundo, um maior que 65000. Analisando as situações:

i) Iniciando com 3 ou 4: não há restrições quanto aos demais.

1ª escolha	2ª escolha	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
2 possib.	4 possib.	3 possib.	2 possib.	1 possib.

Há 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 possibilidades.

ii) Iniciando com 6: há única restrição é que o 7 não ocupe a unidade de milhar.

1ª escolha	2ª escolha	1ª algarismo	2ª algarismo	3ª algarismo
1 possib.	3 possib.	3 possib.	2 possib.	1 possib.

Há 1 x 3 x 3 x 2 x 1 = 18 possibilidades.

Unindo as duas situações temos: 48 + 18 = 66 possibilidades.

12). A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:

Solução 1. As restrições indicam que os números devem conter os algarismo 1 e 2 . Os algarismos serão escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

i) Contém o algarismo 1 e 2 nas primeiras posições.

1	2	3ª escolha	1ª escolha
1 possib.	1 possib.	4 possib.	3 possib.

Há 4 x 3 = 12 possibilidades.

Considerando os algarismos 12 como um só, haveria 3! possibilidades de trocarem de posição com os outros dois escolhidos. Logo teríamos: (4 x 3) x 3! possibilidades. Mas consideramos que a ordem era 12. Como há a formação 21, todo o cálculo deve ser multiplicado por 2. Logo o resultado final será: (4 x 3) x 3! x 2 = 12 x 6 x 2 = 144 possibilidades.

Solução 2. Um possível caminho, o raciocínio é decomposto em duas etapas. Na primeira, atribuem-se posições no número aos algarismos que devem estar presentes; posteriormente, atribuem-se os algarismos ainda livres às posições restantes no número. O resultado é o produto dos resultados dessas duas etapas (que também têm subetapas, veja).

Etapa 1

Quantas posições são possíveis para o algarismo 1? R: 4

Dado que o 1 já foi alocado, quantas posições são possíveis para o algarismo 2? R: 3

Etapa 2

Dado que 1 e 2 já foram alocados, quantos algarismos podem ocupar a terceira casa do número, qualquer que ela seja? R: 4 (são 3,4,5 e 6)

Quantos algarismos podem ocupar a casa final do número, dadas as ocupações já realizadas? R: 3 (qualquer trinca formada a partir de 3,4,5,6 dependendo da última escolha acima)

4.3.4.3=144

Solução 3. Os números formados deverão ter os algarismos 1 e 2, e mais dois algarismos que pertençam ao conjunto {3,4,5,6}. O número de maneiras de escolher esses dois outros algarismos é então C(4,2) = 6.

Em cada uma dessas 6 escolhas devermos permutar os quatro algarismos formadores do número, de modo que, para cada uma das 6 escolhas, teremos 4! = 24 números distintos.

6 * 24 = 144 números no total.